Question

3．已知函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1），x∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f（A）=-1，a=$\sqrt{7}$且向量$\overrightarrow{m}$=（3，sinB）与$\overrightarrow{n}$=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积公式得到关于三角函数的表达式，然后利用三角函数公式化简为一个角一个函数名称的形式，然后利用余弦函数的单调性得到所求；
（2）首先利用（1）是结论求出A，然后利用余弦函数得到关于b，c的一个等式；然后利用向量共线得到b，c 的另一个等式；解方程组即可．

解答 解：（1）由已知得到f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2cos²x-$\sqrt{3}$sin2x=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
所以令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，解得kπ$-\frac{π}{6}$≤x$≤kπ+\frac{π}{3}$，
函数y=f（x）的单调递减区间[k$π-\frac{π}{6}$，kπ$+\frac{π}{3}$]k∈Z；
（2）f（A）=-1，得到A=$\frac{π}{3}$，所以cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，①
又a=$\sqrt{7}$且向量$\overrightarrow{m}$=（3，sinB）与$\overrightarrow{n}$=（2，sinC）共线，
得到3sinC=2sinB，由正弦定理得到3c=2b，②
由①②解得b=3，c=2．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式以及三角函数式的化简以及三角函数的性质的运用；属于中档题．