Question

18．已知集合A={x|3≤3^x≤27}，B={x|log₂（2x-1）＞1}．
（Ⅰ）分别求A∩B，（∁_RB）∪A；
（Ⅱ）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，解3≤3^x≤27可得集合A=[1，3]，解log₂（2x-1）＞1可得B，进而结合集合的交集、并集、补集的定义计算可得答案；
（Ⅱ）对a进行分类讨论，①当a≤1时，C=∅，②当a＞1时，分别求出a的取值范围，综合即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由3≤3^x≤27知3≤3^x≤3³，所以1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，
由log₂（2x-1）＞1知log₂（2x-1）＞log₂2，所以x＞$\frac{3}{2}$，故B={x|x＞$\frac{3}{2}$}，
从而A∩B={x|$\frac{3}{2}$＜x≤3}；
又∁_RB={x|x≤$\frac{3}{2}$}，从而（∁_RB）∪A={x|x≤3}；
（Ⅱ）分2种情况讨论：①当a≤1时，C=∅，此时C⊆A； 
②当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3；
综合①②，可得a的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查集合交集、并集、补集的计算，需要注意（Ⅱ）中C可能为空集，