Question

19．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点，P为双曲线右支上一点，PF₁与以原点为圆心a为半径的圆相切，切点为M，若$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{F}_{1}}+\overrightarrow{OP}$），那么该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 连结PF₂、OM，根据三角形中位线定理，算出|PF₂|=2|OM|=2a．由圆的切线性质，得到OM⊥PF₁，结合OM∥PF₂得PF₂⊥PF₁．然后在△PF₁F₂中利用勾股定理，结合双曲线的定义解出c=$\sqrt{5}$a，利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．

解答 解：连结PF₂、OM，
∵$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{F}_{1}}+\overrightarrow{OP}$），
∴M是PF₁的中点
∴OM是△PF₁F₂的中位线，
∴OM∥PF₂，且|PF₂|=2|OM|=2a
∵PF₁与以原点为圆心a为半径的圆相切，
∴OM⊥PF₁，可得PF₂⊥PF₁，
△PF₁F₂中，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，…①
∵根据双曲线的定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a
∴|PF₁|=|PF₂|+2a=4a，代入①得（4a）²+（2a）²=|F₁F₂|²，
∴（2c）²=|F₁F₂|²=20a²，解之得c=$\sqrt{5}$a
由此可得双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：A

点评 本题给出双曲线的一条焦半径与以实轴长为直径的圆相切，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，三角形中位线定理和勾股定理等知识，属于中档题．