Question

7．在△ABC中，三边a，b，c成等差数列，且b=2，B=$\frac{π}{3}$，则S_△ABC的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由等差数列的性质，三角形内角和定理可求B，利用余弦定理，基本不等式可求ac≤4，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵三边a，b，c成等差数列，且b=2，B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\sqrt{3}$，当且仅当a=c时等号成立．
∴△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，基本不等式在解三角形中的运用，考查等比数列，等差数列的性质，考查运算能力和转化思想，属于基础题．