Question

12．三角形ABC中，BC=4，且sinAcotB+cosA=$\sqrt{3}$，则三角形ABC面积最大值为4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系式化简已知条件，推出边长关系，然后表示三角形的面积，求出最值．

解答 解：三角形ABC中，sinAcotB+cosA=$\sqrt{3}$，
可得：$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinB}=\sqrt{3}$，
即$\frac{sinC}{sinB}=\sqrt{3}$，由正弦定理可得：c=$\sqrt{3}b$．
BC=4，可得a=4．
由余弦定理得：（$\sqrt{3}$b）²=a²+b²-4a•bcosC，
即2b²+16bcosC-16=0，即b²+8bcosC-8=0
∴cosC=$\frac{1}{b}-\frac{b}{8}$，
∴sin²C=1-cos²C=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{{b}^{2}}-\frac{{b}^{2}}{64}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$b•asinC=$\frac{1}{2}$×4bsinC=2bsinC，
∴（S_△ABC）²=4b²sin²C=4b²（$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{{b}^{2}}-\frac{{b}^{2}}{64}$）=5b²-4-$\frac{1}{16}$b⁴=96-$\frac{1}{16}$（b²-40）²．
当b²=40，即b=2$\sqrt{10}$时，三角形ABC面积取得最大值∴（S_△ABC）²_max=96，
∴三角形ABC的面积的最大值为4$\sqrt{6}$．
故答案为：4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得面积的表达式是关键，属于难题．