Question

3．（1）证明不等式e^x≥x+1
（2）若存在x∈（0，+∞），使不等式$\frac{2x-m}{{e}^{x}-x}$＞x成立，求m的取值范围
（3）设P，Q分别是函数y=lnx与y=e^x图象上的动点，试证明|PQ|$≥\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）构造函数f（x）=e^x-x-1，x＞0，利用导数判断函数的单调性，求得f（x）最小值即得，f（x）＞f（0）=0，不等式即可得证，
（2）先判断e^x-x＞1，则不等式$\frac{2x-m}{{e}^{x}-x}$＞x成立等价于m＜-x（e^x-x-2），令h（x）=-x（e^x-x-2）（x＞0），利用导数法可求得h（x）_max，从而可得m的取值范围．
（3）函数y=lnx与y=e^x图象关于y=x对称，分别求出过点P，Q的切点，即可求出最小距离．

解答 证明：（1）令f（x）=e^x-x-1，x＞0，
则f′（x）=e^x-1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0），
而f（0）=e⁰-0-1=0，∴f（x）＞0，
即e^x＞x+1．
（2）：设g（x）=e^x-x
∴g′（x）=e^x-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）=e^x-x在区间（0，+∞）上单调递增；
即g（x）＞g（0）=1．
∴e^x-x＞1，
∴$\frac{2x-m}{{e}^{x}-x}$＞x?2x-m＞x（e^x-x），
∴m＜-x（e^x-x-2），
令h（x）=-x（e^x-x-2）（x＞0），
则h′（x）=-（e^x-x-2）-x（e^x-1）=（x+1）（2-e^x），
当0＜x＜ln2时，h′（x）＞0；当x＞ln2时，h′（x）＜0；
∴当x=ln2时，h（x）取得极大值，也是最大值，为h（ln2）=-ln2（e^ln2-ln2-2）=ln²2．
∴m＜ln²2．
（3）函数y=lnx与y=e^x图象关于y=x对称，
∴y′=$\frac{1}{x}$与y′=e^x，
分别设切点为（x_P，y_P），（x_Q，y_Q），
∴$\frac{1}{{x}_{P}}$=1，${e}^{{x}_{Q}}$=1，
∴x_P=1，x_Q=0，
∴y_P=0，y_Q=1，
∴|PQ|≥$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=2．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查导数的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．