Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$=（-2sinx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx-sinx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]时的值域；
（Ⅱ）求f（x）的递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简f（x）的表达式，通过x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，求出相位的范围，结合正弦函数的有界性求解函数的值域；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，转化求解函数的单调增区间即可．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$=（-2sinx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx-sinx），$f（x）=\vec a•\vec b=-sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin（2x+\frac{2π}{3}）$
当$x∈[-\frac{π}{2}，0]$时，$2x+\frac{2π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
所以$2sin（2x+\frac{2π}{3}）∈[-\sqrt{3}，2]$
（Ⅱ）$由-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{2}{3}π≤\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）$，
可得：$-\frac{7π}{12}+kπ≤x≤-\frac{π}{12}+kπ$，（k∈Z）．
f（x）的递增区间：[$-\frac{7π}{12}+kπ$，$-\frac{π}{12}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查向量的数量积的应用，两角和与差的三角函数，正弦函数的有界性以及正弦函数的单调增区间的求法，考查计算能力．