Question

4．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，侧面BCC₁B₁的面积为2，棱柱体积为V₁，而其外接球体积为V₂，那么$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{8π}$．

Answer 1

分析 设AB=x，AC=y，利用基本不等式得出V₁，V₂的最值及其条件，从而得出结论．

解答 解：设AB=x，AC=y，则BC=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴BB₁=$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，B₁C=$\sqrt{B{C}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的半径R=$\frac{1}{2}$B₁C=$\sqrt{\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{4}+\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≥1（当且仅当x²+y²=2时取等号），
∴V₁=$\frac{1}{2}AB•AC•B{B}_{1}$=$\frac{xy}{2}•\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{xy}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{2xy}}{2}$（当且仅当x=y时取等号），
∴V₂=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$≥$\frac{4π}{3}$（当且仅当x²+y²=2时取等号）．
∴当x=y=$\sqrt{2}$时，$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{8π}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{8π}$．

点评 本题考查了常见几何体的体积计算，基本不等式的应用，属于中档题．