Question

10．已知函数f（x）=asin（1-x）+lnx+b（a，b∈R）．且f（x）在x=1处的切线方程过坐标原点．
（I）求a，b的关系；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明$\sum_{i-1}^{n}sin\frac{1}{（k+1）^{2}}＜ln2$．

Answer 1

分析 （I）求导数，根据已知条件f（x）在x=1处的切线方程过坐标原点，可求a，b的关系；
（II）函数f（x）在区间（0，1）上为增函数，只要f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，利用常数分离法进行求解；
（Ⅲ）这个证明题可以利用一个恒等式，sinx＜x，然后对$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$从第三项开始进行放缩，然后进行证明．

解答 （I）解：∵f（x）=asin（1-x）+lnx+b，
∴f′（x）=-acos（1-x）+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=-a+1，
∵f（1）=b，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-b=（-a+1）（x-1），
∵f（x）在x=1处的切线方程过坐标原点，
∴0-b=（-a+1）（0-1），
∴b=1-a；
（Ⅱ）∵f（x）=asin（1-x）+lnx+1-a，
∴f′（x）=acos（1-x）×（-1）+$\frac{1}{x}$，
函数f（x）在区间（0，1）上为增函数，只要f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，
∴acos（1-x）×（-1）+$\frac{1}{x}$≥0，
∴a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$，
设h（x）=xcos（1-x），0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函数，
∴h（x）＜h（1）=1，
∴a≤1；
（Ⅲ）证明：∵0＜$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=sin$\frac{1}{{2}^{2}}$+sin$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$≤$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$
＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4×5}$+$\frac{1}{5×6}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{97}{144}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{97}{144}$＜ln2，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln2．

点评 第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinx＜x进行证明，此题难度比较大，计算量比较大．