Question

5．已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=1，a₅=-5．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\frac{{5-{a_n}}}{2}，{b_n}={2^{c_n}}$，记数列{log₂b_n}的前n项和为T_n，求满足不等式T_n≥2016的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出首项与公差，求出通项公式即可．
（2）利用已知条件求出b_n，利用对数运算法则求解数列的和，解不等式，求解n的最小值．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，由已知条件有：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=-5}\\{{a}_{1}+d=1}\end{array}\right.$，…（2分）
解得：a₁=3，d=-2…（4分）
所以，a_n=a₁+（n-1）d=-2n+5…（6分）
（2）由（1）知：${c_n}=\frac{{5-{a_n}}}{2}=n，{b_n}={2^{c_n}}={2^n}$…（8分）
所以T_n=log₂b₁+log₂b₂+…+log₂b_n=log₂2+log₂2²+…+log₂2ⁿ
=$1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$…（11分）
T_n≥2016，可得：$\frac{n（n+1）}{2}≥2016$，
n²+n-4032≥0，解得n≥63，满足不等式T_n≥2016的n的最小值为：63．…（13分）

点评 本题考查等差数列通项公式以及数列的递推关系式的应用，数列与不等式相结合，考查分析问题解决问题的能力．