Question

14．已知函数f（x）=a^x+log_a（x+1）在[0，1]上的最大值和最小值的和为a．
（1）求a的值；
（2）设函数Φ（x）=log_a$\frac{mx}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，若对任意x∈[1，2]，不等式Φ（x）+log_am≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=a^x与y=log_a（x+1）具有相同的单调性，得出f（x）在[0，1]上具有单调性，列出方程f（0）+f（1）=a，求出a的值；
（2）根据任意x∈[1，2]，不等式Φ（x）+log_am≥0恒成立，转化为m＞0且m²≤$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}}{x}$，构造函数g（x）=$\frac{\sqrt{1{+x}^{2}}}{x}$，x∈[1，2]，求出g（x）的最小值g（x）_min，由此求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵y=a^x与y=log_a（x+1）具有相同的单调性，
∴f（x）=a^x+log_a（x+1）在[0，1]上单调，
∴f（0）+f（1）=a，
即a⁰+log_a1+a¹+log_a2=a，
化简得1+log_a2=0，解得a=$\frac{1}{2}$；
（2）∵函数Φ（x）=log_a$\frac{mx}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，
对任意x∈[1，2]，不等式Φ（x）+log_am≥0恒成立，
即${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{mx}{\sqrt{1{+x}^{2}}}$+${log}_{\frac{1}{2}}$m≥0恒成立，
∴${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{{m}^{2}x}{\sqrt{1{+x}^{2}}}$≥0恒成立，且m＞0；
∴0＜$\frac{{m}^{2}x}{\sqrt{1{+x}^{2}}}$≤1，
即m²≤$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}}{x}$，
设g（x）=$\frac{\sqrt{1{+x}^{2}}}{x}$，x∈[1，2]，
∴g（x）=$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$，
当x∈[1，2]时，$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴$\frac{1}{{x}^{2}}$+1∈[$\frac{5}{4}$，2]；
∴g（x）的最小值是g（x）_min=g（2）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
令m²≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得-$\frac{\root{4}{20}}{2}$≤m≤$\frac{\root{4}{20}}{2}$，
又m＞0，
∴m的取值范围是0＜m≤$\frac{\root{4}{20}}{2}$．

点评 本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性应用问题，也考查了不等式恒成立与函数的最值问题，是综合性题目．