Question

6．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-bx，设h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求函数F（x）=f（x）-x的极值；
（2）若g（2）=2，若a＜0，讨论函数h（x）的单调性；
（3）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x₁，x₂，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数h（x）的单调区间即可；
（3）求出h（x）的表达式，求出h（x）的导数，求出h（x）的单调性得到h（x）的最大值，从而求出b的范围即可．

解答 解：（1）∵F'（x）=$\frac{1}{x}$-1，令F'（x）=0，即x=1，
令F′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令F′（x）＜0，解得：x＞1，
∴F（x）在（0，1）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴F（x）_极大值=F（1）=-1；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+bx，其定义域为（0，+x）
.$h′（x）=\frac{1}{x}-ax+（a-1）=\frac{{-a{x^2}+（a-1）x+1}}{x}=\frac{-（ax-1）（x+1）}{x}$，
又a＜0，令h′（x）=0，得${x_1}=-\frac{1}{a}，{x_2}=1$．
1°..当a＜-1时，则$0＜-\frac{1}{a}＜1$，
所以函数h（x）在区间（ 0，$-\frac{1}{a}$）和（1，+∞）上单调递增；
在区间（$-\frac{1}{a}$，1）上单调递减．
2°．当a=-1时，h′（x）＞0，数h（x）在区间（0，+∞）单调递增
3°．当-1＜a＜0时，则$-\frac{1}{a}＞1$，
所以函数h（x）在区间（0，1）和（$-\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增；
在区间（1，$-\frac{1}{a}$）上单调递减．                                       
（3）∵函数g（x）是关于x的一次函数，故a=0，
∴h（x）=lnx+bx，其定义域为（0，+∞），
∵h（x） 有两个不同的零点x₁，x₂，∴b＜0，
h′（x）=$\frac{1+bx}{x}$，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜-$\frac{1}{b}$，
令h′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}{b}$，
∴h（x）在（0，-$\frac{1}{b}$）递增，在（-$\frac{1}{b}$，+∞）递减，
∴x=-$\frac{1}{b}$是极大值点，
∴h（-$\frac{1}{b}$）是最大值，
∴h（-$\frac{1}{b}$）＞0，
∴b的取值范围是（$-\frac{1}{e}$，0）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．