Question

15．如图，已知椭圆C经过点（2，$\sqrt{2}$），且中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F₁（-2，0），直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E、F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点F的坐标为（2，$\sqrt{2}$），求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）由椭圆方程求得A的坐标，结合F的坐标得E的坐标，写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程．

解答 解：（1）由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：a²=8，b²=4．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）如图，F（2，$\sqrt{2}$），E（-2，-$\sqrt{2}$），A（-$2\sqrt{2}$，0），
则AE：$\frac{y+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{x+2}{2-2\sqrt{2}}$，取x=0，得y=-2-$2\sqrt{2}$；
AF：$\frac{y-0}{\sqrt{2}}=\frac{x+2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}$，取x=0，得y=$2\sqrt{2}-2$．
∴MN的中点坐标为（0，-1），
∴以MN为直径的圆的方程为x²+（y+1）²=8．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题