Question

20．已知公差为正数的等差数列{a_n}满足a₁=1，2a₁，a₃-3，a₄+5成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）公差d为正数的等差数列{a_n}满足a₁=1，2a₁，a₃-3，a₄+5成等比数列．可得$（{a}_{3}-3）^{2}$=2a₁•（a₄+5），即（2d-2）²=2（6+3d），解出即可得出．
（2）由（1）可得${b_n}={（{-1}）^n}{a_n}={（{-1}）^n}（{4n-3}）$，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）公差d为正数的等差数列{a_n}满足a₁=1，2a₁，a₃-3，a₄+5成等比数列．
∴$（{a}_{3}-3）^{2}$=2a₁•（a₄+5），即（2d-2）²=2（6+3d），化为：2d²-7d-4=0，d＞0，解得d=4，∴a_n=4n-3．
（2）由（1）可得${b_n}={（{-1}）^n}{a_n}={（{-1}）^n}（{4n-3}）$，
当n为偶数时，${T_n}=-1+5-9+13-17+…+（{4n-3}）=4×\frac{n}{2}=2n$，
当n为奇数时，n+1为偶数，T_n=T_n+1-b_n+1=2（n+1）-（4n+1）=-2n+1，
综上，${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2n，n偶数}\\{-2n+1，n为奇数}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．