Question

16．已知函数g（x）=x²+（a-1）x+a-2a²，h（x）=（x-1）²，若不等式g（x）＞0的解集为集合A，不等式h（x）＜1的解集为集合B．
（1）若集合A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
（2）已知log_x[f（x）]-log_x[g（x）]=1，且不等式f（x）＞0的解集为集合C，若集合C∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，求出集合A，解不等式求出集合B，根据A∩B≠∅，得到关于a的不等式组，解出即可；
（2）求出f（x）=xg（x）=x（x-a）[x-（1-2a）]，结合题意得到x＞0，结合（1），求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵x²+（a-1）x+a-2a²＞0，
∴（x-a）[x-（1-2a）]＞0，
a＞$\frac{1}{3}$时，解得：x＞a或x＜1-2a，
故不等式的解集是{x|x＞a或x＜1-2a}，
故A={x|x＞a或x＜1-2a}，
a＜$\frac{1}{3}$时，解得：x＞1-2a或x＜a}，
故不等式的解集是{x|x＞1-2a或x＜a}，
故A={x|x＞1-2a或x＜a}，
由（x-1）²＜1，解得：0＜x＜2，
故B={x|0＜x＜2}，
a=$\frac{1}{3}$时，A=∅，不合题意，
若集合A∩B≠∅，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{3}}\\{a＜2或1-2a＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{3}}\\{1-2a＜2或a＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{3}$＜a＜2或-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{3}$；
（2）∵log_x[f（x）]-log_x[g（x）]=1，
∴f（x）=xg（x）=x（x-a）[x-（1-2a）]，
令f（x）＞0，由题意x＞0，
即（x-a）[x-（1-2a）]＞0，
结合（1）$\frac{1}{3}$＜a＜2或-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了解不等式问题，考查集合问题以及对数的运算，是一道中档题．