Question

1．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1（其中a＞0且a为常数）
（1）若曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线与在点（$\frac{3}{2}$，f（$\frac{3}{2}$））的切线平行，求实数a的值；
（2）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线与在点（$\frac{3}{2}$，f（$\frac{3}{2}$））的切线平行，建立方程，即可求实数a的值；
（2）若函数f（x）有零点，利用其最小值小于等于0，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，
∴f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∵曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线与在点（$\frac{3}{2}$，f（$\frac{3}{2}$））的切线平行，
∴$\frac{3-a}{9}=\frac{\frac{3}{2}-a}{\frac{9}{4}}$，∴a=3.5；
（2）f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$＞0，∴x＞a，函数单调递增，0＜x＜a，函数单调递减，
∴f（x）_min=f（a）=lna，
∵函数f（x）有零点，
∴lna≤0，
∴0＜a≤1．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．