Question

4．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∠AA₁B=∠AA₁C₁=60°，∠BB₁C₁=90°，侧棱长AA₁=3．
（1）求此三棱柱的表面积；
（2）若${V_{棱柱}}={S_{△{B_1}D{C_1}}}•A{A_1}$，求三棱柱的体积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面积公式求出上下底面的面积，由平行四边形面积公式求出侧面ABB₁A₁和ACC₁A₁的面积，再由矩形面积公式求出侧面BCC₁B₁的面积得答案；
（2）由${V_{棱柱}}={S_{△{B_1}D{C_1}}}•A{A_1}$，可得AA₁⊥平面B₁DC₁，由已知求解直角三角形可得等腰三角形B₁DC₁的边长，进一步求其面积，代入棱柱体积公式得答案．

解答 解：（1）由题意知，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是一个等腰直角三角形，且AB=AC=2，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}={S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∵∠AA₁B₁=∠AA₁C₁=60°，AB=AC=2，AA₁=3，
∴${S}_{四边形AB{B}_{1}{A}_{1}}={S}_{四边形AC{C}_{1}{A}_{1}}$=$2×3×sin60°=3\sqrt{3}$，
又∵∠BB₁C₁=90°，∴侧面BB₁C₁C为矩形，
∴${S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}=3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$．
∴斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积S=$2×2+2×3\sqrt{3}+6\sqrt{2}=4+6（\sqrt{2}+\sqrt{3}）$；
（2）由题意，得AA₁⊥平面B₁DC₁，
∵B₁D?平面B₁DC₁，∴AA₁⊥B₁D，
又∵∠DA₁B₁=60°，A₁B₁=2，∴${B}_{1}D=\sqrt{3}$，同理$D{C}_{1}=\sqrt{3}$，
∴${V}_{棱柱}={S}_{△{B}_{1}D{C}_{1}}•A{A}_{1}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3-2}×3=3\sqrt{2}$．

点评 本题考查柱、锥、台体表面积与体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．