Question

2．袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的5倍记分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量X的分布列．
（3）记分介于18分到28分之间的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数，再求出一次取出的3个小球上的数字互不相同包含的基本事件个数，由此能求∴取出的3个小球上的数字互不相同的概率．
（2）由题意X的可能的取值为：2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布．（3）记事件“一次取球所得记分介于18分到28分之间”的事件C，则P（C）=P（x=4或x=5）．

解答 解：（1）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，
从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，
基本事件总数n=${C}_{10}^{3}$=120，
“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则P（A）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{3}$，
∴取出的3个小球上的数字互不相同的概率为$\frac{2}{3}$．
（2）由题意X的可能的取值为：2，3，4，5，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{6}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{8}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{8}{15}$，
所以随机变量X的概率分布为

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{8}{15}$

（3）记事件“一次取球所得记分介于18分到28分之间”的事件C，
则P（C）=P（x=4或x=5）=$\frac{3}{10}$+$\frac{8}{15}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．