Question

【题目】已知函数，

（1）判断函数在区间上零点的个数；

（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）两个

（2）证明见解析

【解析】

（1）先由原函数求出其导函数，再研究导函数在，，的符号问题，从而得出函数在区间上的单调性，从而得出函数在区间上零点的个数；

（2）先求出函数的导函数，再结合（1）的结论及正切函数的性质可得，再结合余弦函数的单调性即可得解.

解：（1）因为，所以，

当时，，

在上单调递减，，在上无零点；

当时，，

在上单调递增，，

在上有唯一零点；

当时，，在上单调递减，

，在上有唯一零点，

综上，函数在区间上有两个零点;

（2）因为，所以，

由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；

在有极大值点，即为，

由，,

以及的单调性,

,

，由函数在单调递增,

得，

,

由在单调递减得，

即，

故.