Question

【题目】已知函数定义在区间上，，且当时，恒有，又数列满足，，设，对于任意的，的最小自然数的值为_______________________________.

Answer 1

【答案】5

【解析】

先明确函数的奇偶性，令x＝an，y＝﹣an，可得f （an）与f （an+1）的关系，求出即可得到，利用最值建立的不等式关系，即可得到结果.

令x＝y＝0时，则由已知有f（0）﹣f（0）＝f（），

可解得f （0）＝0．

再令x＝0，y∈（﹣1，1），则有f（0）﹣f（y）＝f（），即f （﹣y）＝﹣f （y），

∴f （x）是（﹣1，1）上的奇函数．

令x＝an，y＝﹣an，于是f（an）﹣f（﹣an）＝f（），

由已知得2f （an）＝f （an+1），

∴，

∴数列{f（an）}是以f（a1）＝f（）＝﹣1为首项，2为公比的等比数列．

∴f（an）═﹣1×2n﹣1＝2n﹣1

∴，∴

又任意的，

∴，即

故自然数的最小值为5.故答案为：5