Question

【题目】已知数列与满足，.

（1）若，且，求的通项公式；

（2）设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；

（3）设，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）把bn＝3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an＝6，由此得到{an}是等差数列，则an可求；

（2）由an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到an＝2bn+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；

（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．

（1）由可得：，又，所以数列以1为首项，6为公差的等差数列，即有；

（2）由可得：

……

，

将上述式子累加可得

，当时，也成立，所以，由此可得

，由于为常数，所以当的第项是最大项时，最大，即的第项是最大项；

（3）由（2）可知，即，结合可得

，分三种情况进行讨论：

①当时，则为偶数时，为奇数时，，即，此时，由此，此情况不符合条件；

②当时，则为偶数时，，由于，所以，从而“随着增大值减小，此时，，无最小值（无限靠近0）；为奇数，，此时，由于，所以，从而随着增大值减小，结合，可知随着增大值增大，此时，无最大值（无限靠近0）；由此可知数列的最大值，最小值，，又，所以，解之；

③当时，则为偶数时，，由于，所以，从而随着增大值增大，此时，，无最大值（无限靠近）；为奇数时，，此时，由于，所以，从而随着增大值增大，结合，可知随着增大值减小，此时，无最小值（无限靠近）；由此可知，在条件下，数列无最值，显然不符合条件；

综上，符合条件的实数的取值范围为.