Question

【题目】在双曲线的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为__________.

Answer 1

【答案】2

【解析】

设，，，运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得，再结合双曲线的定义和等积法，求得，再由双曲线的离心率公式和第二定义，可得，将的坐标代入双曲线的方程，运用，，的关系和离心率公式，即可得到所求离心率．

设，，，

可得重心，即，

设△的内切圆与边的切点，与边的切点为，与边上的切点为，

则△的内切圆的圆心的横坐标与的横坐标相同．

由双曲线的定义，．①

由圆的切线性质，

，，，即有。

由，

则△的重心为，，即，

由△的面积为，

可得.②

由①②可得，

由右准线方程，双曲线的第二定义可得：

，解得，

即有，代入双曲线的方程可得，可得，

可得双曲线的离心率为．

故答案为：．