Question

【题目】设函数.

（1）求时，函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求正整数的最小值

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.

【解析】

（1）当时，对进行求导得，根据导数研究函数的单调性，即可求出函数的单调区间；

（2）先求导得，分两种情况当和当时，根据导数研究函数的单调性，讨论的单调性，如果函数有两个零点，得出，且，即：，构造函数，求得在区间内为增函数，且，，存在进而得出答案.

解：（1）当时，得，则的定义域为，

，

当时，即，解得：或（舍去），

令，解得：，则时，单调递增；

令，解得：，则时，单调递减，

综上得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题可知，，则的定义域为，

，

当时，，函数在区间内单调递增，

所以，函数的单调增区间为，无单调减区间；

当时，由，得；由，得，

所以，函数的单调增区间为，，单调减区间为，

如果函数有两个零点，则，且，

即，即：，

令，则，

可知在区间内为增函数，且，

，

所以存在，，

当时，；当时，，

所以，满足条件的最小正整数.