Question

11．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂ =3，a_n+2-a_n+1-2a_n =0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n+2-a_n+1-2a_n =0可知（a_n+2-2a_n+1）+（a_n+1-2a_n ）=0，进而又$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{2}$=$（-\frac{1}{2}）^{2}$、$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$-$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$=$（-\frac{1}{2}）^{3}$、$\frac{{a}_{4}}{{2}^{4}}$-$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$=$（-\frac{1}{2}）^{4}$、…、$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$（-\frac{1}{2}）^{n}$，并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n+2-a_n+1-2a_n =0，
∴（a_n+2-2a_n+1）+（a_n+1-2a_n ）=0，
∵a₂-2a₁=3-2=1=（-1）²，
∴$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{2}$=$（-\frac{1}{2}）^{2}$，
∵a₃-2a₂=-（a₂-2a₁）=（-1）¹，
∴$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$-$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$=$（-\frac{1}{2}）^{3}$，
∵a₄-2a₃=-（a₃-2a₂）=（-1）²，
∴$\frac{{a}_{4}}{{2}^{4}}$-$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$=$（-\frac{1}{2}）^{4}$，
…
∵a_n-2a_n-1=-（a_n-1-2a_n-2）=（-1）^n-2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
以上n-1个式子相加，得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$+$（-\frac{1}{2}）^{2}$+$（-\frac{1}{2}）^{3}$+…+$（-\frac{1}{2}）^{n}$
=1-$\frac{1}{2}$+$（-\frac{1}{2}）^{2}$+$（-\frac{1}{2}）^{3}$+…+$（-\frac{1}{2}）^{n}$
=1+$\frac{-\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$
=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$•$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
∴a_n=$\frac{2}{3}$•2ⁿ+$\frac{1}{3}$•（-1）ⁿ，
经检验，当n=1、2时也成立，
数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2}{3}$•2ⁿ+$\frac{1}{3}$•（-1）ⁿ．

点评 本题考查数列的通项及前，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．