Question

8．若函数y=f（x）+cosx在[-$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上单调递减，则f（x）可以是（　　）

• A． 1
• B． -sinx
• C． cosx
• D． sinx

Answer 1

分析 显然y=cosx在$[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上没有单调性，从而说明y=1+cosx和y=2cosx在[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上没有单调性，即说明选项A，C错误．而f（x）=-siinx时，可以得到y=$-\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$，可换元令$x-\frac{π}{4}$=t，$t∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，可以说明$y=-\sqrt{2}sint$在[$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]上单调递减，从而得出选项B正确，同样的方法说明选项D错误．

解答 解：A．若f（x）=1，则y=1+cosx，显然cosx在[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上没有单调性；
∴y=1+cosx在[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上没有单调性，即该选项错误；
B．若f（x）=-sinx，则y=-sinx+cosx=-$\sqrt{2}$sin（$x-\frac{π}{4}$）；
令$x-\frac{π}{4}=t$，$t∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，则：sint在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上单调递增；
∴y=$-\sqrt{2}sint$在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上单调递减；
∴y=-sinx+cosx在[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上单调递减，即该选项正确；
C同A，可说明C选项错误，D同B可说明D选项错误．
故选B．

点评 考查正、余弦函数的单调性，根据图象判断函数单调性的方法，要熟悉正余弦函数的图象，以及换元法判断函数单调性．