Question

18．已知△ABC的三内角为A、B、C，且其对边分别为a、b、c，若cosAcosC-sinAsinC=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求B； 
（Ⅱ）若b=2$\sqrt{3}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a，c．

Answer 1

分析 （1）利用和差公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性即可得出；
（2）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵cosAcosC-sinAsinC=$\frac{1}{2}$，∴cos（A+C）=$\frac{1}{2}$，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0°，180°），
∴B=120°．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，代入$（2\sqrt{3}）^{2}$=a²+c²-2accos120°，化为：a²+c²+ac=12，
又$\frac{1}{2}acsin12{0}^{°}$=$\sqrt{3}$，化为ac=4，
联立解得a=c=2．

点评 本题考查了余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．