Question

8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）=x²，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为-$\frac{3}{5}$＜k≤-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件分别求出函数在x＞0时，对应的解析式，根据函数奇偶性的性质转化为当x＞0时，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵当0＜x≤1时，f（x）=x²，
∴f（1）=1，
则当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1）=f（x）+1，
即f（x）=f（x-1）-1，
若1＜x≤2，则0＜x-1≤1，
则f（x）=f（x-1）-1=（x-1）²-1=x²-2x，1＜x≤2，
若2＜x≤3，则1＜x-1≤2，
则f（x）=f（x-1）-1=（x-1）²-2（x-1）-1=x²-4x+2，2＜x≤3，
若3＜x≤4，则2＜x-1≤3，
则f（x）=f（x-1）-1=（x-1）²-4（x-1）+2-1=x²-6x+6，3＜x≤4，
若4＜x≤5，则3＜x-1≤4，
则f（x）=f（x-1）-1=（x-1）²-6（x-1）+6-1=x²-8x+12，4＜x≤5，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，
则等价为当x＞0时，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，
作出函数f（x）在x＞0时的图象如图：
则当x=4时，f（4）=4²-6×4+6=-2，即C（4，-2），
当x=5时，f（5）=5²-8×5+12=-3，即A（5，-3），
当直线y=kx经过点C时，此时当x＞0时，两个函数有3个交点，此时k=-$\frac{1}{2}$，
当直线y=kx经过点A时，此时当x＞0时，两个函数有4个交点，此时k=-$\frac{3}{5}$，
则若两个函数在x＞0时，有3个交点，
则-$\frac{3}{5}$＜k≤-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{3}{5}$＜k≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合将条件转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．综合性较强，比较复杂．