Question

18．如图AB是抛物线C：x²=4y过焦点F的弦（点A在第二象限），过点A的直线交抛物线于点E，交y轴于点D（D在F上方），且|AF|=|DF|，过点B作抛物线C的切线l
（1）求证：AE∥l；
（2）当以AE为直径的圆过点B时，求AB的直线方程．

Answer 1

分析 （1）证明k_AE=k_l，即可证明：AE∥l；
（2）当以AE为直径的圆过点B时，k_AB•k_BE=-1，利用韦达定理，即可求AB的直线方程．

解答 （1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（0，y₁+2）
∴k_AE=-$\frac{2}{{x}_{1}}$，
∵x²=4y，∴y′=$\frac{1}{2}$x，
∴k_l=$\frac{1}{2}$x₂，
设直线AB的方程为y=kx+1，代入x²=4y，可得x²-4kx-4=0，
∴x₁x₂=-4，
∴k_AE=k_l，
∴AE∥l；
（2）解：直线AE的方程为y-y₁=-$\frac{2}{{x}_{1}}$（x-x₁），
与x²=4y联立，可得x²+$\frac{8}{{x}_{1}}$x-4y₁-8=0，
∴x₁+x_E=-$\frac{8}{{x}_{1}}$，∴x_E=-$\frac{8}{{x}_{1}}$-x₁，∴E（-$\frac{8}{{x}_{1}}$-x₁，$\frac{16}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+4），
∵以AE为直径的圆过点B，
∴k_AB•k_BE=-1，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{E}-{y}_{2}}{{x}_{E}-{x}_{2}}$=-1，
∴（x₂+x₁）（3x₂-x₁）=-16，
∵x₁x₂=-4，x₂+x₁=4k，
∴x₂=k-$\frac{1}{k}$，x₁=3k+$\frac{1}{k}$，
∴（k-$\frac{1}{k}$）（3k+$\frac{1}{k}$）=-4，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AB的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．

点评 本题考查直线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．