Question

13．已知直线l：x+y=b交抛物线C：y²=2px（b＞p＞0）于A、B两点，O为坐标原点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=8，C的焦点F到直线1的距离为$\frac{7\sqrt{2}}{4}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求△OAB外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由直线l：x+y=b与抛物线C：y²=2px联立，消去x整理成关于y的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=8，由韦达定理得方程，结合C的焦点F到直线1的距离为$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，求出b，p，即可求抛物线C的方程；
（2）求出A，B的坐标，利用待定系数法求△OAB外接圆的方程．

解答 解：（1）由直线l：x+y=b与抛物线C：y²=2px，得y²+2py-2pb=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁•y₂=-2pb，y₁+y₂=-2p
x₁•x₂=（b-y₁）•（b-y₂）=b²，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=8，∴x₁•x₂+y₁•y₂=b²-2pb=8，
∵C的焦点F到直线1的距离为$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{|\frac{p}{2}-b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∵b＞p＞0，∴b=4，p=1，
∴抛物线C的方程y²=2x；
（2）由（1）y²+2y-8=0，∴y=2或-4，
∴A（2，2），B（8，-4）
设△OAB外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，
A，B代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4+4+2D+2E=0}\\{64+16+8D-4E=0}\end{array}\right.$，∴D=-8，E=4，
∴△OAB外接圆的方程为x²+y²-8x+4y=0．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．