Question

8．（1）解不等式：|2x-2|＜|x-4|；
（2）记（1）中不等式的解集为A，当a，b∈A时，证明：2|a+b|＜|4+ab|

Answer 1

分析 （1）不等式|2x-2|＜|x-4|，即 （2x-2）²＜（x-4）²，由此求得不等式的解集．
（2）由题意可得-2＜a＜2，-2＜b＜2，用比较法证得|4+ab|²-（2|a+b|）²＞0，可得不等式 2|a+b|＜|4+ab|成立．

解答 解：（1）不等式：|2x-2|＜|x-4|，即 （2x-2）²＜（x-4）²，即 3x²＜12，
求得-2＜x＜2，故不等式的解集为（-2，2）．
（2）记（1）中不等式的解集为A，当a，b∈A时，有-2＜a＜2，-2＜b＜2．
∵|4+ab|²-（2|a+b|）²=16+8ab+a²•b²-4（a²+2ab+b²）
=16+a²•b²-4a²-4b²=4（4-b²）+a²（b²-4）=（4-b²）（4-a²）＞0，
∴|4+ab|＞2|a+b|，即 不等式 2|a+b|＜|4+ab|成立．

点评 本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式，属于中档题．