Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=a₂=2，2na_n+1-（3n+2）a_n+（n+1）a_n-1=0（n≥2），求a₂₀₀₉的值．

Answer 1

分析 2na_n+1-（3n+2）a_n+（n+1）a_n-1=0（n≥2），可得n（2a_n+1-a_n）-（n+1）（2a_n-a_n-1）=0，变形为：$\frac{2{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用“累乘求积”可得：2a_n+1-a_n=n+1，变形为a_n+1-n=$\frac{1}{2}[{a}_{n}-（n-1）]$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵2na_n+1-（3n+2）a_n+（n+1）a_n-1=0（n≥2），
∴2na_n+1-na_n-（2n+2）a_n+（n+1）a_n-1=0，
∴n（2a_n+1-a_n）-（n+1）（2a_n-a_n-1）=0，
∴$\frac{2{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴2a_n+1-a_n=$\frac{2{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2{a}_{n}-{a}_{n-1}}$×$\frac{2{a}_{n}-{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}-{a}_{n-2}}$×…×$\frac{2{a}_{3}-{a}_{2}}{2{a}_{2}-{a}_{1}}$×（2a₂-a₁）=$\frac{n+1}{n}$×$\frac{n}{n-1}$×…×$\frac{3}{2}$×2=n+1，
∴2a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n+1-n=$\frac{1}{2}[{a}_{n}-（n-1）]$，
∴数列{a_n-（n-1）}从第二项起是等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n-（n-1）=$（\frac{1}{2}）^{n-2}$，
∴a_n=（n-1）+$（\frac{1}{2}）^{n-2}$，n=1时也成立．
∴a_n=（n-1）+$（\frac{1}{2}）^{n-2}$，
∴a₂₀₀₉=2008+$（\frac{1}{2}）^{2006}$．

点评 本题考查了“累乘求积”方法、等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．