Question

10．已知正项数列{a_n}，若前n项和S_n满足8S_n=a²_n+4a_n+3，且a₂是a₁和a₇的等比中项
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b_n=[log₂（$\frac{{a}_{n}+3}{4}$）]，求b₁+b₂+b₃+…${b}_{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由8S_n=a²_n+4a_n+3，得S_n-1=a²_n-1+4a_n-1+3，从而得到a_n-a_n-1=4，（n≥2，n∈N），由此利用a₂是a₁和a₃的等比中项，能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=[log₂（$\frac{{a}_{n}+3}{4}$）]=[log₂n]，令S=b₁+b₂+b₃+…${b}_{{2}^{n}}$，得到S=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n，由此利用错位相减法能求出b₁+b₂+b₃+…${b}_{{2}^{n}}$．

解答 解：（1）∵正项数列{a_n}，前n项和S_n满足8S_n=a²_n+4a_n+3，①
∴S_n-1=a²_n-1+4a_n-1+3，（n≥2，n∈N），②
由①-②，得8a_n=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+4a_n-4a_n-1，
整理，得（a_n-a_n-1-4）•2a_n=0，（n≥2，n∈N），
∵{a_n}是正数数列，∴a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=4，（n≥2，n∈N），
∴{a_n}是公差为4的等差数列，
由8a₁=a₁²+4a₁+3，得a₁=3或a₁=1，
当a₁=3时，a₂=7，a₇=27，不满足a₂是a₁和a₃的等比中项，
当a₁=1时，a₂=5，a₇=25，满足a₂是a₁和a₃的等比中项，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）∵a_n=4n-3，∴b_n=[log₂（$\frac{{a}_{n}+3}{4}$）]=[log₂n]，
由符号[]表示不超过实数x的最大整数，知当2^m≤n≤2^m+1时，[loh₂n]=m，
∴令S=b₁+b₂+b₃+…${b}_{{2}^{n}}$
=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂2ⁿ]
=0+1+1+2+…+3+…+4+…+n-1+…+n
∴S=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n，③
2S=1×2²+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2ⁿ+2n，④
③-④，得-S=2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ-1
=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n-1）•2ⁿ-n
=（2-n）•2ⁿ-n-2，
∴S=（n-2）•2ⁿ+n+2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．