Question

15．已知点A是抛物线y²=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是$\frac{128}{3}$时，则抛物线的方程为y²=16x．

Answer 1

分析 由题意得|BC|=|AF|=$\frac{2}{\sqrt{3}}$p，利用△ABC的面积是$\frac{128}{3}$，由抛物线的定义可得$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{3}}$p×$\frac{2}{\sqrt{3}}$p=$\frac{128}{3}$，求出p，可得抛物线的方程．

解答 解：由题意得|BC|=|AF|=$\frac{2}{\sqrt{3}}$p，
∵△ABC的面积是$\frac{128}{3}$，
∴由抛物线的定义可得$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{3}}$p×$\frac{2}{\sqrt{3}}$p=$\frac{128}{3}$，
∴p=8，∴抛物线的方程为y²=16x．
故答案为：y²=16x．

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查三角形面积的计算，正确运用抛物线的定义是关键．