Question

5．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），直线l经过点P（2，2），倾斜角$α=\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）写出圆的标准方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）设l与圆C相交于A，B两点，求弦|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由圆C的参数方程可得其标准方程，然后求解直线l的参数方程．
（2）设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，利用直线的参数方程的几何意义求解即可．

解答 解：（1）由圆C的参数方程可得其标准方程为x²+y²=16．
因为直线l过点P（2，2），倾斜角$α=\frac{π}{3}$，所以直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcos\frac{π}{3}\\ y=2+tsin\frac{π}{3}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入圆C：x²+y²=16中，
得${（{2+\frac{1}{2}t}）^2}+{（{2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}=16，{t^2}+2（{\sqrt{3}+1}）t-8=0$，
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，
所以${t_1}+{t_2}=2（{\sqrt{3}+1}），{t_1}{t_2}=-8$，
所以|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{12+2\sqrt{3}}$．

点评 本题考查极坐标与直线的参数方程的应用，考查计算能力．