Question

20．已知各项都为正数的等比数列数列{a_n}，a₃=8，a₅=32．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，记数列{c_n}的前n项和T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知得数列{c_n}的通项公式，利用裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，a₃=8，a₅=32.8q²=32，
解得q=2，
可得a₃=q²a₁，a₁=2，
∴由${a_1}=2，q=2∴{a_n}={2^n}$．
（2）b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
T_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1$-\frac{1}{n+1}$，
可得：${T_n}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．