Question

20．已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（-x）=-h（x）}设函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$（a，b为常数）．
（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；
（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，计算f（-1），f（1），即可判断；
（2）由题意可得可得f（-x）=-f（x），即$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x+1}+b}$=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$对x∈R恒成立，即有（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，求得a，b，再由指数函数的值域求得f（x）的范围，由恒成立思想可得sinθ≥$\frac{1}{2}$，由正弦函数的图象即可得到所求范围．

解答 解：（1）举反例即可．f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$，由f（-1）=$\frac{-{2}^{-1}+1}{1+1}$=$\frac{1}{4}$，
f（1）=$\frac{-2+1}{4+1}$=-$\frac{1}{5}$，可得f（-1）≠-f（1），即有f（x）∉M；
（2）由f（x）∈M，可得f（-x）=-f（x），即
$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x+1}+b}$=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$对x∈R恒成立，
即有（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，
即为$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
由f（x）的定义域为R，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$舍去，
故a=1，b=2，即有f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
由2^x＞0，可得1+2^x＞1，即0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
则f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
由对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，可得
sinθ≥$\frac{1}{2}$，
解得2kπ+$\frac{π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想求出函数的值域，考查运算能力，属于中档题．