Question

11．圆C的方程为x²+y²-6x+8=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 由于圆C的方程为（x-3）²+y²=1，由题意可知，只需（x-43）²+y²=4与直线y=kx-2有公共点即可．

解答 解：∵圆C的方程为x²+y²-6x+8=0，整理得：（x-3）²+y²=1，即圆C是以（3，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x-3）²+y²=4与直线y=kx-2有公共点即可．
设圆心C′（3，0）到直线y=kx-2的距离为d，
则d=$\frac{|3k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，即5k²-12k≤0，
∴0≤k≤$\frac{12}{5}$．
∴k的最大值$\frac{12}{5}$．
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x-3）²+y²=4与直线y=kx-2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．