Question

12．数列{a_n}满足a₁+2a₂+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，n∈N^*
（Ⅰ） 求a₃的值；
（Ⅱ） 求数列{a_n}前n项和T_n；
（Ⅲ）设${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_1}+{log_{\frac{1}{2}}}{a_2}+…+{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，c_n=$\frac{1}{{{b_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）可令n=1，2，3，计算即可得到所求值；
（2）当n≥2时，将n换为n-1，相减，即可得到所求通项公式；
（3）运用对数的运算性质，以及等差数列的求和公式，化简可得b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，故c_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由裂项相消求和即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）令n=1，得a₁=1，
令n=2，有a₁+2a₂=2，得${a_2}=\frac{1}{2}$，
令n=3，有${a_1}+2{a_2}+3{a_3}=4-\frac{5}{4}$，得${a_3}=\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）当n≥2时，${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+（n-1）{a_{n-1}}=4-\frac{n+1}{{{2^{n-2}}}}$，①${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+（n-1）{a_{n-1}}+n{a_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$，②
②-①，得$n{a_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
所以${a_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
又当n=1时，a₁=1也适合${a_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
所以，${a_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$（n∈N^*）；
（Ⅲ）${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_1}+{log_{\frac{1}{2}}}{a_2}+…+{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$=1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$，
故${c_n}=\frac{1}{{{b_{n+1}}}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，则${c_1}+{c_2}+…+{c_n}=2（（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}））=\frac{2n}{n+1}$，
所以数列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n项和为$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项和求和的求法，注意运用相减法，以及裂项相消求和法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．