Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=0，4S_n=1-a_n+1，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n，求{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用递推公式与等比数列的前n项和公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质可得b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n=（-1）ⁿ（n-1）．n=1时也成立．再利用分组求和即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=0，4S_n=1-a_n+1，n∈N^*．
∴0=1-a₂，解得a₂=1．
∴当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=1-a_n+1-（1-a_n），化为：a_n+1=-3a_n．
∴数列{a_n}从第二项起是等比数列，公比为-3．
∴a_n=（-3）^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{（-3）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n=（-1）ⁿ（n-1）．n=1时也成立．
∴{b_n}的前2n项和T_2n=（0+1）+（-2+3）+…+[-（n-2）+n-1]
=n．

点评 本题考查了递推关系的应用、分类讨论思想方法、分组求和方法、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．