Question

11．已知圆F₁：（x+1）²+y²=16，定点F₂（1，0），A是圆F₁上的一动点，线段F₂A的垂直平分线交半径F₁A于点P．
（Ⅰ）当A在圆F₁上运动时，求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+1与轨迹C交于M、N两点，若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-2（O是坐标原点），求直线l方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意P在线段F₂A的中垂线上，所以|PF₂|=|PA|，则|PF₂|+|PF₁|=|PA|+|PF₁|=|AF₁|=4＞|F₁F₂|，故轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆，从而可求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$，得x₁x₂+y₁y₂=-2，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，利用韦达定理，求直线l方程．

解答 解：（Ⅰ）因为P在线段F₂A的中垂线上，所以|PF₂|=|PA|，（1分）
所以|PF₂|+|PF₁|=|PA|+|PF₁|=|AF₁|=4＞|F₁F₂|，（2分）
所以轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆，且$a=2，c=1，b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$，（3分）
所以轨迹C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（4分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$，得x₁x₂+y₁y₂=-2，（5分）
即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=-2，即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+3=0?（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，（7分）
因为△=64k²+32（3+4k²）＞0，（8分）
所以，有$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{-8}{{3+4{k^2}}}\end{array}\right.$（9分）
代入化简得1-4k²=0，解得$k=±\frac{1}{2}$，（11分）
所以直线l方程为$y=±\frac{1}{2}x+1$．（12分）

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．