Question

18．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x），g（x）=-ax+2．
（1）指出f（x）的单调性（不要求证明）；
（2）若有g（2）+f（2）=3，求g（-2）+f（-2）的值；
（3）若h（x）=f（x）+g（x）-2，求使不等式h（x²+tx）+h（4-x）＜0恒成立的t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用指数函数的单调性，对底数a讨论，即可单调性．
（2）令f（x）+g（x）-2=h（x）．证明其奇偶性，利用奇偶性求值．
（3）利用（1）（2）中的结论，将不等式转化为二次函数恒成立问题，即可求解t的取值范围．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x），
①当0＜a＜1时，$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）$递减，
②当a＞1时，$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）$递减，
∴当且a＞0且a≠1时，f（x）是减函数．
（2）由题意g（x）=-ax+2．
设h（x）=f（x）+g（x）-2，则：h（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）-ax$，其定义域为R，关于原点对称，
h（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{-x}}-{a}^{-x}）+ax$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}）+ax$=-[$\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）-ax$]=-h（x）
∵h（-x）=-h（x），
∴h（x）是定义域为R的奇函数．
∵g（2）+f（2）=3，则：h（2）=1，
∴h（-2）=-1，即：g（2）+f（2）-2=-1
所以g（2）+f（2）=1．
（3）由（2）知h（x）是定义域为R的奇函数，且在R上为减函数，
由h（x²+tx）+h（4-x）＜0，则有：h（x²+tx）＜h（-4+x）
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，
∴△=b²-4ac=（t-1）²-16＜0
解得：-3＜t＜5，
故得t的取值范围是（-3，5）．

点评 本题考查了复合函数的单调性和构造函数思想利用奇偶性求值，将恒等式问题转化为不等式求解，综合性强，属于中档题．