Question

9．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+2y-6≤0\\ 2x+y-6≤0\end{array}\right.$，则z=|x-1|+|y+2|的取值范围为[2，6]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+2y-6≤0\\ 2x+y-6≤0\end{array}\right.$作出可行域如图，

当x≥1，y≥0时，目标函数化为z=x+y+1，即y=-x+z-1，
∴当直线y=-x+z-1过（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2，当直线y=-x+z-1过（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为5；
当0≤x＜1，y≥0时，目标函数化为z=-x+y+3，即y=x+z-3，
当直线y=x+z-3过（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，∴z＞2，当直线y=x+z-3过（0，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为6．
∴z=|x-1|+|y+2|的取值范围为[2，6]．
故答案为：[2，6]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．