Question

19．设p：关于x的不等式x+$\frac{1}{x}$≥a²-a对任意的x∈（0，+∞）恒成立；q：关于x的方程x+|x-1|=2a有实数解．若p∧q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出使命题p，q为真命题的实数a的取值范围，再由p∧q为真，等价于p和q都为真，求出交集可得答案．

解答 解：对于p，当x∈（0，+∞）时，$x+\frac{1}{x}≥2$，当且仅当x=1时取等号，…（2分）
所以2≥a²-a，得-1≤a≤2． …（4分）
对于q，由$2a=x+|x-1|=\left\{\begin{array}{l}2x-1，x≥1\\ 1，\begin{array}{\;}x＜1\end{array}\right.\end{array}\right.$，
函数$y=\left\{\begin{array}{l}2x-1，x≥1\\ 1，\begin{array}{\;}x＜1\end{array}\right.\end{array}\right.$的值域是[1，+∞），…（6分）
所以2a≥1，得$a≥\frac{1}{2}$． …（8分）
因为p∧q为真，等价于p和q都为真．
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{2}}\\{-1≤a≤2}\end{array}}\right.$，得 $\frac{1}{2}≤a≤2$…（10分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了恒成立问题和存在性问题，难度中档．