Question

4．函数y=x+$\frac{9}{x+1}$（x≠-1）的值域为（-∞，-7]∪[5，+∞）．

Answer 1

分析 利用不等式的基本性质求函数的值域．

解答 解：由题意：函数y=x+$\frac{9}{x+1}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}-$1，
当x＞-1时，（x+1）$+\frac{9}{x+1}$≥2$\sqrt{\frac{9}{x+1}•（x+1）}$=6，当且仅当x=2是取等号．
则y≥6-1=5．
当x＜-1时，-[（x+1）$+\frac{9}{x+1}$]≥-2$\sqrt{\frac{9}{x+1}•（x+1）}$=-6，当且仅当x=-2是取等号．
则y≤-6-1=-7．
综上所得：函数y的值域为（-∞，-7]∪[5，+∞）．
故答案为（-∞，-7]∪[5，+∞）．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．