Question

已知函数f（x）=sinxcosx+cos²x-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在[

π

8，

π

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得：f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），从而可求最小正周期是π．
（Ⅱ）由-

π

8

≤x≤

π

2

，可解得0≤2x+

π

4

≤

5π

4

，从而可求函数f（x）在[

π

8，

π

2

]的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得：f（x）=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x=

2

2

sin（2x+

π

4

），
所以，T=

2π

2

=π，
即f（x）的最小正周期是π．
（Ⅱ）∵-

π

8

≤x≤

π

2

，
∴0≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
于是，当2x+

π

4

=

π

2

时，即x=

π

8

时，f（x）取得最大值

2

2

；
当2x+

π

4

=

5π

4

时，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值-

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．