Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为,与抛物线C的准线始终相切.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，由题意转化条件得，即可得A，B，F三点共线，即可得解；

（2）设直线，联立方程可得、、，利用弦长公式可得，利用点到直线的距离求得高，表示出三角形面积后即可得解.

（1）证明：过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，

设抛物线焦点为F，

由题意知圆M的半径，

且，

即可得，所以A，B，F三点共线，即，所以，

所以抛物线C的方程为；

（2）由（1）知抛物线，设直线，点，，

联立可得：，，

所以，，

所以，

则，，

故点N到直线AB距离

又

，

所以，

当时，取最小值为32.

故所求三角形面积的取值范围.