Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知平面平面是边长为2的等边三角形，点是的中点，底面是矩形，，为上一点，且.

（1）若，点是的中点，求证：平面平面；

（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；

【解析】

（1）先根据三角形的中位线和矩形的性质得到线线平行，再根据面面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.

解：（1）因为，所以为的中点，

因为点是的中点，所以，

又底面是矩形，所以，所以.

在中，由点是的中点，为的中点，得.

又，平面，平面，

，平面，平面，

所以平面平面.

（2）连接，因为是边长为2的等边三角形，点是的中点，所以.又平面平面，平面平面，

所以平面.

以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，.

设平面的法向量为，

则得所以，令，则，

所以平面的一个法向量为.

设直线与平面所成的角为，

则.

假设存在符合题意的，

因为，所以，

所以，化简整理得，得.

所以当，即为线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为.