Question

17．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-\sqrt{2}≤0}\\{x-2y-\sqrt{2}≤0}\end{array}\right.$，则x+3y的取值集合中，整数的个数为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 作出可行域，利用平移求出最大值和最小值，结合x+3y是整数进行判断即可．

解答 解：由z=x+3y，得$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，作出不等式对应的可行域，
平移直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，由平移可知当直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，
经过点C时，直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，的截距最大，
此时z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y-\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
代入z=x+3y，得z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
即目标函数z=x+3y的最大值为2$\sqrt{2}$，
当直线经过A时，直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$的截距最小，
此时z取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x-2y-\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，即A（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
此时z=-$\sqrt{2}$-3×$\sqrt{2}$=-4$\sqrt{2}$，
即-4$\sqrt{2}$≤z≤2$\sqrt{2}$，
其中x+3y为整数，则z=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2共有8个，
故选：C

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．