Question

7．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-1，$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，求数列{a_n}的前n项和S_n=-$\frac{1}{n}$，通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由题意可知：a_n+1=S_n•S_n+1，即S_n+1-S_n=S_n+1S_n，两边同除以S_n+1S_n，整理得：$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，则{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为-1，公差为-1的等差数列，由等差数列通项公式可知：$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n，则S_n=-$\frac{1}{n}$；由当n=1时，a₁=S₁=-1，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n（n-1）}$．

解答 解：由S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-1，$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，
∴a_n+1=S_n•S_n+1，
∴S_n+1-S_n=S_n+1S_n，两边同除以S_n+1S_n，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为-1，公差为-1的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
当n=1时，a₁=S₁=-1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}}&{n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：-$\frac{1}{n}$，$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列通项公式，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．考查计算能力，属于中档题，