Question

18．已知集合A={x|1＜x≤5}，集合B={$\frac{2x-1}{x-3}$＞0}．
（1）求A∩B；
（2）若集合C={x|a+1≤x≤4a-3}，且C∪A=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由分式不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B；
（2）由C∪A=A得C⊆A，根据子集的定义对C进行分类讨论，分别列出不等式组，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由$\frac{2x-1}{x-3}＞0$得（2x-1）（x-3）＞0，
解得x＜$\frac{1}{2}$或x＞3，则集合B={x|x＜$\frac{1}{2}$或x＞3}，----2
因集合A={x|1＜x≤5}，
所以A∩B={x|3＜x≤5}；------4
（2）因为C∪A=A，所以C⊆A={x|1＜x≤5}，------5
又集合C={x|a+1≤x≤4a-3}，
①当C=∅时，则4a-3＜a+1，解得$a＜\frac{4}{3}$，满足题意；------------7
②当C≠∅时，要使C⊆A，则$\left\{\begin{array}{l}{4a-3≥a+1}\\{a＞0}\\{4a-5≤5}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}≤a≤2$．--------9
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，2]．------------10

点评 本题考查了分式不等式的解法，交集的运算，以及集合之间的关系的应用，考查分类讨论思想，注意空集是任何集合的子集．